Question

求解一道导数的概念题，如果错的话大家最好帮我举个反例，谢谢。

Answer 1

不正确。f连续且在0处可导不能保证f在0的一个邻域内可导。
（如果f可导，由达布定理可知导数一定连续，所以导数在0的一个邻域内是大于0的，即f单增。）
反例可以由魏尔斯特拉斯函数构造。此函数是一个处处连续但处处不可导的函数，设为g。令f(x)=xg(x)+ax，由导数的定义可知f在0处一定可导而在其他地方不可导，适当选取a可使0处导数大于零，而在0的任何一个邻域内函数都不单调。

追问

大神，我还是不太理解，为什么一点可导但它的一个领域不具有可导性。

追答

这个确实直觉上不好理解。我所说的这个f(x)，在0处的导数为lim(xg(x)+ax-0)/(x-0)=lim(g(x)+a)，由于g(x)是连续的所以这个极限就是g(0)+a，所以0处导数是存在的。但在其他地方，由于g(x)处处不可导，所以导数不存在（可以用导数定义验证一下）。可以这么解释，由于我乘了一个x，当x趋于0时，x这个因子相当于把g(x)的起伏“抹平”了，因此是可导的。而在x为其他值时是做不到的。g(x)这个函数它在任意一个区间上都不单调。具体可以百度一下魏尔斯特拉斯函数。

追问

好的，谢谢。

Answer 2

这句话应该是对的，既然f’(0)存在了，至少说明x=0处，f’是连续的，所以0对左右领域均可以满足f’>0，所以是对的

Answer 3

我看是对的，如果这个邻域不存在，则f'(0)+<0，而f'(0)>0，又f(x)连续，故f(0)为极值点，即f(0)=0，这与题设矛盾。所以原命题正确。

Answer 4

个人觉得不太对啊😊

追答

只有函数的导数在零到八上都大于零才能保证递增啊～你这个我是认为不能

个人观点哈