Question

设P为60°的二面角α-L-β内的一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,求p到棱l距离

Answer 1

过P作PC⊥L交L于C。
∵PA⊥平面α，∴AC是PC在平面α上的射影，又PC⊥L，∴由三垂线定理的逆定理，有：
AC⊥L。
∵PB⊥平面β，∴BC是PC在平面β上的射影，又PC⊥L，∴由三垂线定理的逆定理，有：
BC⊥L。
由AC⊥L、BC⊥L，得：∠ACB是二面角α－L－β的平面角，∴∠ACB＝60°。

由锐角三角函数定义，有：sin∠PCB＝PB/PC＝2/PC、sin∠PCA＝PA/PC＝4/PC。
∵∠ACB＝60°，∴∠PCB、∠PCA都是锐角，
∴cos∠PCB＝√［1－（sin∠PCB）^2］＝√（1－4/PC^2），
　cos∠PCA＝√［1－（sin∠PCA）^2］＝√（1－16/PC^2）。
又cos∠ACB＝cos（∠PCB＋∠PCA）＝cos∠PCBcos∠PCA－sin∠PCBsin∠PCA＝cos60°，
∴［√（1－4/PC^2）］［√（1－16/PC^2）］－（2/PC）（4/PC）＝1/2。

令4/PC^2＝x，则：［√（1－x）］［√（1－4x）］－2x＝1/2，
∴［√（1－x）］［√（1－4x）］＝2x＋1/2，
两边平方，得：（1－x）（1－4x）＝4x^2＋2x＋1/4，　∴1－5x＋4x^2＝4x^2＋2x＋1/4，
∴7x＝1－1/4＝3/4，　∴x＝3/28，　∴4/PC^2＝3/28，　∴PC^2＝4×28/3，　∴PC＝4√21/3。
即点P到直线L的距离为 4√21/3。