Question

已知函数f（x）=（acosxsin2x-cos2x+1）/2sinx，若函数f（x）的值域是一个区间，则实数a的取值范围是。

没看懂题目啊亲们。。。值域是一个区间？？？？

Answer 1

f(x) = (a × 2sin x cos² x + 2sin² x) / 2sin x = a cos² x + 2sin x = a (1 - sin² x) + 2sin x，其中sin x ≠ 0
现在令t = sin x，则有，-1 ≤ t ≤ 1且t ≠ 0，f(t) = a (1 - t²) + 2t
1. 若a=0，则f(t)=2t，f(t)的值域为[-2, 0)或(0, 2)，不满足“f（x）的值域是一个区间”
2. 所以a ≠ 0，于是有 f(t) = -at² + 2t + a 是一个二次函数，对称轴为t = 1/a，最小值为3/a + a.
3. 如果1/a < -1 或 1/a > 1，则对称轴不在定义域内，于是函数在[-1,1]内单调，由于0点不在定义域内所以值域区间会被分成两部分。
4. 所以 -1 ≤ 1/a ≤ 1，且为了解决3中提到的问题，必须有 2 × 1/a - 0 属于[-1,1]，也即 a ≥ 2 或 a ≤ -2
综上， a ≥ 2 或 a ≤ -2为a的取值范围。

追问

问一下第四种情况为什么要必须有 2 × 1/a - 0 属于[-1,1]，然后你这样求出来应该是算交集吧？为什么是取的并集？

追答

因为，t = 1/a是对称轴，所以 t = 2 × 1/a - 0 是 t = 0的关于该对称轴的对称点，这个对称点必须在[-1,1]内，因为t=0不在定义域内，如果要把f(t)的这个函数值“补上”，必须要有一个与其函数值相同的点在定义域内。
求出来是算交集啊，是 -1 ≤ 1/a ≤ 1的结果与 2 × 1/a - 0 属于[-1,1]的结果的交集，我这里算的是交集啊。我建议你可以在数轴上画一下，这样会更清楚一些。

Answer 2

它的意思就是说f(x)是有界函数，即有最小值k和最大值p，则这个区间为：【k,p】.