Question

已知p(1,m)和Q(3,m)是抛物线y=x²+bx+c上的两点,且该抛物线与x轴交于A、B两点。

（1）求b的值
（2）求c的取值范围
（3）若线段AB=6，求该抛物线的解析式。

Answer 1

(1) 由于p(1,m)和Q(3,m)是抛物线y=x²+bx+c上的两点，所以 对称轴为直线x=2
即 x=-b/2=2，b=-4
(2)抛物线与x轴交于A、B两点，则⊿=16-4c>0，解得 c<4
(3)设A、B两个点的横坐标为x1，x2，则x1,x2是方程x²-4x+c=0的两个根，且|x1-x2|=6
由韦达定理，x1+x2=4，x1x2=c
所以 36=(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=16-4c
即 20=-4c，c=-5
抛物线的解析式为y=x²-4x-5

Answer 2

(1)1+b+c=m 9+3b+c=m
b=-4
(2)顶点是（2，c-4）
因为抛物线与x轴有两个交点 c-4<0 所以c<4
(3)A、B两点的坐标分别是（2+√4-c，0）（2-√4-c，0）
两点距离为2√4-c=6 所以c=-5