Question

大一数学分析，关于函数极限的证明

f在(a,正无穷)内可导，且x趋于正无穷时f'趋于A，证明x趋于正无穷时，f(x)/x趋于A

Answer 1

当A不是0时 因为且x趋于正无穷时f'趋于A，所以当x为正无穷时f(x)为无穷，所以f(x)/x为无穷比无
穷型，所以上下求导变成f'，所以limf(x)/x=limf'=A
当A是0时 f(x)恒等于一个常数（设为C），那么原式就可以写成limC/x,当x趋向于无穷时，
limC/x就趋向于0，即趋向于A。
综上所说 结论就证出来啦
个人看法 供你参考一下

Answer 2

根据洛必达法则， f(x)/x ,x趋于正无穷，上下各同时求导，f'(x)/1,x趋于正无穷，依题得，f'趋于A，x趋于正无穷，所以X趋于正无穷时，f(x)/x趋于A。 （如果你们的教材是华东师大版的数学分析的话，可以翻到上册书上128页看下定理6.7）

Answer 3

柯西中值
(f(x)/x=(f(x)-f(∞))/(x-∞)=f'(ξ)/ξ'=f'(ξ)
对上式两端取lim(x→∞) 注意x→∞ 时ξ→∞
lim(x→∞)f(x)/x=lim(ξ→∞)f'(ξ)=A