Question

已知函数f(x)=(1/3)x^3-[(a+1)/2]x^2+bx+a ,(a,b属于R) 其导函数f'(x)的图像过原点

已知函数f(x)=(1/3)x^3-[(a+1)/2]x^2+bx+a ,(a,b属于R) 其导函数f'(x)的图像过原点。
1）当a=1时，求函数f(x)的图像在X=3处的切线方程。
2）若存在x<0，使得f'(x)=-9，求a的最大值。
3）当a>0时，确定函数f(x)d的零点个数。

Answer 1

1）因为a=1，b=0 所以f'(x)=X^2-(a+1)X+b=X^2-2X
当X=3时， K=f'(3)=3（用K表示函数f(x)在X=3处的斜率）
因为f(x)=(1/3)x^3-x^2+1 ，所以f(3)=1
所以可 设函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x+B，（关键就是求B了哦）
由题意可知点（3，1）在直线y=3x+B上，所以代入点，可求得B= -8
所以函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x-8

2）f'(x)=x^2-(a+1)x+b
导函数f'(x)的图像过原点,即f'(0)=b=0
f'(x)=-9有负数解
x^2-(a+1)x+9=0
delta=(a+1)^2-36>=0---> a>=5 or a<=-7
由x1x2=9>0得两根同号，因此需都为负数 ,即x1+x2=a+1<0,--->a<-1
由此得最大值为a=-7
3)f'(x)=x^2-(a+1)x=0--> x=0, a+1
f(0)=a>0为极大值
f(a+1)=-(a+1)^3/6+a=-1/6[a^3+3a^2-3a+1]=-1/6[a^3+3(a-1/2)^2+1/4]<0为极小值
所以f(x)有3个不同的零点