Question

如图4,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0)

如图4，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）。P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C。记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C。设点P的横坐标为α。
（1）当b＝3时，

　　①求直线AB的解析式；

　　②若点P'的坐标是（-1，m），求m的值；

　　（2）若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D。

　　当P'D∶DC＝1∶3时，求α的值；

　　（3）是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？

　　若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解析如图

Answer 2

1题不用讲了吧
2.P'D∶DC=P'P∶AC
又P'P∶AC=2a∶(a+4)
3.首先要确定哪个角是直角
∠P'CA不可能是直角
因为∠PCA是直角,P'又不可能在直线PC上
若∠P'AC是直角
就是PP'AC是正方形
且OA=OC
若∠CP'A是直角
CP=P'P
AC-CP=CP
算出a,
再由AP直线算出b

Answer 3

（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H= AC．
∴2a= （a+4）
∴a=
∵P′H=PC= AC，△ACP∽△AOB
∴ = = ，即 = ，
∴b=2
2）若∠P′AC=90°，P′A=CA
则PP′=AC
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴ = =1，即 =1
∴b=4
3）若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．
∴所有满足条件的a，b的值为a=4/3 b=2 或 a=4 b=4