Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小1

1.求曲线C的方程
2.过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A,B两点，设向量AP=λ向量PB
当ΔAOB面积为四倍根号二时，求λ的值
要详细解答

Answer 1

解：（1）设M（x，y），则由题设得|MF|=|y+2|-1，
即 x2+(y-1)2=|y+2|-1
当y≥-2时， x2+(y-1)2=y+1，化简得x2=4y；
当y＜-2时， x2+(y-1)2=-y-3，
化简得x2=8y+8与y＜-3不合
故点M的轨迹C的方程是x2=4y
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x2=4y得x2-4kx+8（k-1）=0（☆）
△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k-1）
①由 AP→=λPB→，且λ=1得点P是弦AB的中点，
∴x1+x2=4，则4k=4，得k=1
∴直线m的方程是x-y=0
②∵|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)[(x2+x1)2-4x2x1]=4(1+k2)(k2-2k+2)
点O到直线m的距离d= |2-2k|1+k2，
∴S△ABO= 12|AB|•d=4|k-1|k2-2k+2=4(k-1)4+(k-1)2
∵S△ABO=4 2，∴ 4(k-1)4+(k-1)2=42，
∴（k-1）4+（k-1）2-2=0，（k-1）2=1或（k-1）2=-2（舍去）
∴k=0或k=2
当k=0时，方程（☆）的解为±2 2
若x1=2 2，x2=-22，则 λ=2-22-22-1=3-22
若x1=-2 2，x2=22，则 λ=2+2222-2=3+22
当k=2时，方程（☆）的解为4±2 2
若x1=4+2 2，x2=4-22，则 λ=-2-222-22=3+22
若x1=4-2 2，x2=4+22，则 λ=-2+222+22=3-22
所以，λ=3+2 2或 λ=3-22

追问

最后写的是什么？看不懂

追答

λ=3+2(根号2) 或 λ=3-2（根号2）

Answer 2

曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线L：y=-2的距离小1,则曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离等于它到直线L：y=-1的距离，所以曲线C是以F为焦点，y=-1为准线的抛物线，其方程为x^2=4y;