Question

在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D,E分别为AB,AC边上的点，AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD

在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D,E分别为AB,AC边上的点，AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作FG⊥CD叫BE的延长线与点G,叫AC与点M,（1）求证：△EGM为等腰三角形。（2）判断线段BG,AF与FG的数量关系，并证明你的结论
第一问可以不用了
第二问务必

Answer 1

解：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴∠1=∠3，∵∠BAC=90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，∴∠4+∠3=90°∵FG⊥CD，∴∠CMF+∠4=90°，∴∠3=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．（2）线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N．（见右图）∵BN⊥AB，∠ABC=45°，∴∠FBN=45°=∠FBA．∵FG⊥CD，∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，∵AF⊥BE，∴∠BFA=90°-∠EBC ，∠5+∠2=90°，由（1）可得∠DCB=∠EBC，∴∠BFN=∠BFA，又∵BF=BF，∴△BFN≌△BFA（ASA），∴NF=AF，∠N=∠5，又∵∠GBN+∠2=90°，∴∠GBN=∠5=∠N，∴BG=NG，又∵NG=NF+FG，∴BG=AF+FG．望能采纳噢～

Answer 2

∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中，
AF=FH,BF为公共边，∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°，∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG

Answer 3

BG=AF+FG
证明：过CP∥AB，AF的延长线于P，
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACP，
∵CP∥AB，
∴∠MCF=∠PCF，
∴△MCF≌△PCF，
∴BE=AP．MF=PF，EG=MG，
则BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG．

Answer 4

hg