Question

实数x，y满足x²＋y²－6y＋5=0，且x＋2y＋m＜0恒成立，求实数m的取值范围

实数x，y满足x²＋y²－6y＋5=0，且x＋2y＋m＜0恒成立，求实数m的取值范围 求速度 求过程！！

Answer 1

x²+y²-6y+9=4
x²+(y-3)²=4
令x=2cosα，y=3+2sinα
x+2y+m<0恒成立，即m<-x-2y恒成立；
即：m<-2cosα-4sinα-6恒成立；
m要小于-2cosα-4sinα-6的最小值；
由辅助角公式：
-2cosα-4sinα-6=2√5sin(α+θ)-6≧-2√5-6
所以，m<-2√5-6
即实数m的取值范围是：m<-2√5-6

注：这种方法叫三角换元，有时候比较好用；

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

本题实际上是求斜率为-1/2的直线与圆相切
已知圆心坐标为O（0,3），半径为2
设切点坐标为A（x，y）
OA斜率=2
OA方程：y-3=2(x-0)=2x，即2x-y+3=0
x^2+(y-3)^2=4
联立方程求出切点坐标：
(2√5/5,4√5/5-3)和(-2√5/5,-4√5/5-3)
切线方程为：
y-4√5/5+3=-1/2(x-2√5/5)
2y-8√5/5+6+x-2√5/5=0
x+2y+6-2√5=0
或
y+4√5/5+3=-1/2(x+2√5/5)
2y+8√5+6+x+2√5/5=0
x+2y+6+2√5=0
所以m的取值范围为：
6-2√5<m<6+2√5

Answer 3

不知学过线性规划没
x＋2y＋m＜0即m《-（x+2y）
转化一下即求《-（x+2y）最小值所以是求x＋2y的最大值设x＋2y=t则x=t-2y
代入x²＋y²－6y＋5=0化简5y²－（6+4t）y＋5+t*t=0
判别式》=0解得渴求出t最大值那么m范围就有了