Question

一道数学题 高手来

已知函数f(x)=x-1/x+a(3-lnx)(a>0)，若x∈（0,1），求f(x)的单调区间

Answer 1

解：f'(x)=1+1/x^2-a/x=(1/x-a/2)^2+1-a^2/4
若0<a≤2，则f'(x)>(1-a/2)^2+1-a^2/4=2-a≥0，也即f'(x)>0，f(x)在x∈（0,1）上单调递增；
若a>2，则f'(x)=1+1/x^2-a/x=(1/x)^2-a*(1/x)+1，令f'(x)=0，得1/x=[a±√(a^2-4)]/2，于是
f'(x)={1/x-[a+√(a^2-4)]/2}{1/x-[a-√(a^2-4)]/2}
因为0<[a-√(a^2-4)]/2=2/[a+√(a^2-4)]<2/[2+√(2^2-4)]=1，故1/x-[a-√(a^2-4)]/2>1-1=0
那么，令f'(x)=0，便得1/x-[a+√(a^2-4)]/2=0，解得x=[a-√(a^2-4)]/2，显然0<x<1。于是，当
0<x≤[a-√(a^2-4)]/2时，1/x>[a+√(a^2-4)]/2，f'(x)={1/x-[a+√(a^2-4)]/2}{1/x-[a-√(a^2-4)]/2}>0，f(x)单调递增；当[a-√(a^2-4)]/2<x<1时，1/x<[a+√(a^2-4)]/2，f'(x)={1/x-[a+√(a^2-4)]/2}{1/x-[a-√(a^2-4)]/2}<0，f(x)单调递减。

追问

你的a为啥以2为界限讨论？

追答

因为令f'(x)=0，得1/x=[a±√(a^2-4)]/2，需要比较1/x与[a±√(a^2-4)]/2的大小，以确定函数f(x)的单调性。x∈（0,1），故1/x>1。而解[a±√(a^2-4)]/2=1，得a=2。故讨论a时以2为界。

Answer 2

f'(x)=1+1/x²-a/x
令t=1/x，则f'(x)=t^2-at+1
由x∈（0,1），t>1
令f'(x)=0，得t=（a±√（a^2-4))/2
f'(x)在这两值之间小于零，之外大于零
两值较大值（a+√（a^2-4))/2<(a+√a^2)/2=1
所以t>1,f'(x)>0,f(x)递增
即x∈（0,1），f(x)递增

Answer 3

f'(x)=1+1/x²+a/x
a=2
f'(x)=(1/x+1)²>=0
f(x)在（0,1）单调递增
好复杂的说之后