Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的离心率e=根号6/3，椭圆与y轴负半轴的交点为(0,-1) 求椭圆方程，

2，已知过定点D(-1,0),若直线y=kx+2(k不等于0）与椭圆交于A,B两点，问：是否存在k的值，使DA垂直DB?请说明理由

Answer 1

[[[1]]]
由题设可设
a²=3t² b²=t², c²=2t². ( t＞0)
由题设可知b=1.
∴t=1
∴a²=3, b²=1, c²=2
∴该椭圆方程为
(x²/3)+y²=1
[[[2]]]
[1]
可设A(p, kp+2), B(q, kq+2)
联立椭圆与直线方程,整理可得:
(1+3k²)x²+12kx+9=0
判别式⊿=(12k)²-36(1+3k²)=36(k²-1)＞0
∴|k|＞1
又由韦达定理可得
p+q=-12k/(1+3k²)
pq=9/(1+3k²)
[2]
易知
向量DA=(p+1, kp+2)
向量DB=(q+1, kq+2)
由题设可知 DA* DB=0
∴(p+1, kp+2)*(q+1, kq+2)=0
即(p+1)(q+1)+(kp+2)(kq+2)=0
整理可得
(1+k²)pq+(1+2k)(p+q)+5=0
把上面韦达定理结果代入,整理可得
9(1+k²)-12k(1+2k)+5(1+3k²)=0
解得 k=7/6. (满足|k|＞1)
∴满足题设的k存在.

Answer 2

1) x^2/3+y^2=1
2)存在，特别直线y=kx+2重合到y轴时，上下顶点即是A（0,1) B(0,-1) 切好满足DA垂直DB

追问

过程有吗 ？

追答

1) e=c/a=根号6/3 a^2-b^2=c^2 b=1 解得：a^2=3 b^2=1
2)已说明

Answer 3

∠