Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为根号3/3,过其右焦点F的直线l的斜率为1时,坐标原点O到l

已知椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为根号3/3,过其右焦点F的直线l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离是根号2/2

(1)求椭圆的方程,

(2)设过点(0,m)的直线l'与椭圆C相交于A,B两点,问C上是否存在点P,使得向量OP=向量OA+向量OB成立?若存在,求出实数m的取值范围和直线l'的方程;若不存在,说明理由.

Answer 1

(1)设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
由e=√3/3，得a=√3c，b=√2c
设l：y=x-c，即x-y-c=0
∴c/√2=√2/2,c=1,
a=√3,b=√2
椭圆方程为x²/3+y²/2=1
（2）设l':y=kx+m，与x²/3+y²/2=1联立，消去y
得：2x²+3(kx+m)²-6=0
即：（3k²+2)x²+6kmx+3m²-6=0
Δ=36k²m²-4(3k²+2)(3m²-6)>0
∴3k²+2<m²(#)
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂) ,AB中点Q（x',y')
x1+x2=-6km/(3k²+2), x1x2=(3m²-6)/(3k²+2)
2x'=x1+x2=-6km/(3k²+2),
2y'=2[-3k²m/(3k²+2)+m]=4m/(3k²+2)
若向量OP=向量OA+向量OB
而 向量OA+向量OB=2向量OQ
∴向量OP=2向量OQ
∴P(2x',2y')
若P在椭圆上
则2[-6km/(3k²+2)]²+3[4m/(3k²+2)]²=6
m²=(3k²+2)²/(12k²+8)=(3k²+2)/4
3k²+2=4m²代入(#)得：
4m²<m²，矛盾
所以满足条件的直线不存在