Question

两道高二数学双曲线题目

设F1F2是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 的左右焦点，点P在双曲线上，若向量PF1点乘向量PF2=0，且他们的模之积为2ac，则双曲线的离心率是？
A（1+根号5）/2 B（1+根号3）/2
C.2 D（1+根号2）/2

设F1F2是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 的左右焦点，点P在双曲线右支上的任意一点，若（向量PF1模的平方除以向量PF2的模）的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是
A（1，+∞） B（1,2】 C（1,根号3】 D（1,3】

Answer 1

1.
因为向量PF1*向量PF2=0，所以PF1⊥ PF2；所以PF1^2+PF2^2=F1F2^2=(2c)^2=4c^2
又|向量PF1|*|向量PF2|=2ac，而P在双曲线上，|IPF1I-lPF2l|=2a
所以，|IPF1I-lPF2l|^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|
即4a^2=4c^2-4ac，c^2-ac-a^2=0,
所以e^2-e-1=0,e=(1+√5)/2
选A.

2.
P为双曲线右支上的任意一点，
则|PF1|-|PF2|=2a
|PF1|=2a+|PF2|
|PF1|^2=(2a+|PF2|)^2
=4a^2+4a|PF2|+|PF2|^2
所以|PF1|^2/|PF2|
=4a^2/|PF2|+4a+|PF2|
=(4a^2/|PF2|+|PF2|)+4a
>=2√(4a^2/|PF2|*|PF2|)+4a =8a

这个等号当4a^2/|PF2|=|PF2|时成立
即|PF2|^2=4a^2
|PF2|=2a
显然当P在(-a,0)点时|PF2|有最小值， |PF2|的最小值为c-a,
即|PF2|≥c-a, 2a≥c-a,
所以c≤3a ，c/a≤3.
又因双曲线离心率e>1,
所以e的取值范围是(1,3].
选D.