Question

一道数学题

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.
在正方形ABCD的边AD上任取一点E，作EF⊥（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.

请问第一、二题怎么证明EG=CG，EG⊥CG？无比感谢

Answer 1

楼上的少了第一问。
证明：连接CG交DB于O，连接BG
由三角形斜边上中线等于斜边一半，GB=GF,EF=BE，推出GE垂直于BF（四边形有两组邻边互相相等，则两条对角线垂直，这个不用我证吧= =），同理可得CG垂直于BD，则角GCB=角GEB=45°，得证第一问。
第二问。
证明：
延长DC,FE交于点O
由等腰直角三角形DOF三线合一，OG=GF，角GOD=角GFE=45°，推出三角形GEF与GCO全等，GE=CG
然后角FGE=CGO，推出角EGC=FGO=90°,得证。

追问

图对不上啊

追答

有吗？辅助线都做了吗，具体一些，是哪里那条线不对？OG=GF还是由直角三角形斜边中线等于斜边一半。
PS：我和LS做的辅助线至少字母有区别= =，在草稿纸上重画个图吧......

追问

图上CGDB都连好了啊，你能不能告诉我一楼那种方法怎么做，我想知道为什么∠MGC=∠EGB谢谢你

追答

其实方法都一样，比我写得更详细而已= =
是由三角形FGE全等于三角形MGC得来的。
EF=CM
GF=MG(直角三角形斜边中线等于斜边一半)
角GCM=角GFE=45°
推出全等.

追问

我懂了！第二题能不能帮我画好辅助线，然后证哪两个三角形全等？谢谢

追答

第二题我是用的定理证的，就是四边形有两组邻边互相相等，则两条对角线垂直。
算了，我还是用三角形证吧= =，
连GB，BD交CG于O
GB=GD(直角三角形斜边中线等于斜边一半)
三角形GBC全等于三角形GDC,推出角BCG=角DCG，角BCG=1/2角BCD=45°，同理可得角GEB=45°,两个角45°，三角形为等腰直角三角形。然后得证。
PS：如果继续追问可以在评论里进行......

Answer 2

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°
∴四边形BEMC是矩形.
∴BE=CM，∠EMC=90°
又∵BE=EF
∴EF=CM
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG= ½FD=FG
∵BC=EM ，BC=CD
∴EM=CD
∵EF=CM
∴FM=DM
∴∠F=45°
又FG=DG
∵∠CMG= ½∠EMC=45°
∴∠F=∠GMC
∴△GFE≌△GMC
∴EG=CG ，∠FGE=∠MGC
∵∠FMC=90° ，MF=MD， FG=DG
∴MG⊥FD
∴∠FGE+∠EGM=90°
∴∠MGC+∠EGM=90°
即∠EGC=90°
∴EG⊥CG

追问

第二题呢？为什么 ∠F=∠GMC

Answer 3

高中吗？

用向量很简单。以B为原点建立坐标系。设正方形边长为1 ，F坐标（X,X).