Question

在直角坐标系xoy中，已知点p是反比例函数y=2根号3/x（x＞0）图像上的一个动点，

以p为圆心的圆始终与y轴相切，切点为A如图2.圆P运动到与x轴相交，设交点为BB、C，当四边形ABCP是菱形时：1.求点A、B、C的坐标；2.求过A、B、C三点的抛物线解析式；3.在经过A、B、C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP得面积是菱形ABCP面积的一半，若存在，直接写出M点的坐标，若不存在，试说明理由。

Answer 1

分析：（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；
（2）①连接PB，设点P（x， ），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG= ，列方程求x即可；
②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可．
解答：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．（2分）
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 ．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG= ．
sin∠PBG= ，即 ．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG= ，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0， ），B（1，0）C（3，0）．（6分）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a= ，b= ，c= ．
∴二次函数关系式为： ．（9分）
②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：
解之得：u= ，v= ．
∴直线BP的解析式为： ．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： ．
∴0= ．
∴ ．
∴直线CM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）
解法二：∵ ，
∴A（0， ），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4， ）符合要求．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
即 ．
解得：x1=0（舍），x2=4．
∴点M的坐标为（4， ）．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）

Answer 2

解：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四边形OKPA是正方形．（2分）

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为2
3x．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半径）．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=2
3x．
sin∠PBG=PGPB，即32=
2
3xx．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG=3，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，3），B（1，0）C（3，0）．（6分）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：a+b+c=09a+3b+c=0c=
3​
解之得：a=33，b=-
4
33，c=3．
∴二次函数关系式为：y=
33x2-
4
33x+
3．（9分）

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：u+v=02u+v=
3​
解之得：u=3，v=-3．
∴直线BP的解析式为：y=3x-3，
过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：y=
3x+
3．
解方程组：y=
3x+
3y=
33x2-
4
33x+
3​
得：x1=0y1=
3​；x2=7y2=8
3​．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y=
3x+t．
∴0=3
3+t．
∴t=-3
3．
∴直线CM的解析式为：y=
3x-3
3．
解方程组：y=
3x-3
3y=
33x2-
4
33x+
3​
得：x1=3y1=0​；x2=4y2=
3​．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，8
3）．（12分）

解法二：∵S△PAB=S△PBC=
12S▱PABC，
∴A（0，3），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=
12S▱PABC．
∴点M的纵坐标为3．
又∵点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4，3）符合要求．
点（7，8
3）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，8
3）．（12分）

解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=
12S▱PABC．
∴点M的纵坐标为3．
即33x2-
4
33x+
3=
3．
解得：x1=0（舍），x2=4．
∴点M的坐标为（4，3）．
点（7，8
3）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，8
3）．（12分）

Answer 3

分析：（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；
（2）①连接PB，设点P（x， ），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG= ，列方程求x即可；
②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可．
解答：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．（2分）
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 ．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG= ．
sin∠PBG= ，即 ．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG= ，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0， ），B（1，0）C（3，0）．（6分）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a= ，b= ，c= ．
∴二次函数关系式为： ．（9分）
②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：
解之得：u= ，v= ．
∴直线BP的解析式为： ．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： ．
∴0= ．
∴ ．
∴直线CM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）
解法二：∵ ，
∴A（0， ），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4， ）符合要求．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
即 ．
解得：x1=0（舍），x2=4．
∴点M的坐标为（4， ）．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．（12分）

Answer 4

解答：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为 ．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG= ．
sin∠PBG= ，即 ．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG= ，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0， ），B（1，0）C（3，0）．
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a= ，b= ，c= ．
∴二次函数关系式为： ．（9分）
②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：
解之得：u= ，v= ．
∴直线BP的解析式为： ．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为： ．
∴0= ．
∴ ．
∴直线CM的解析式为： ．
解方程组：
得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．
解法二：∵ ，
∴A（0， ），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4， ）符合要求．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）．
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
即 ．
解得：x1=0（舍），x2=4．
∴点M的坐标为（4， ）．
点（7， ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0， ），（3，0），（4， ），（7， ）

Answer 5

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