Question

初中全等三角形题，高悬赏！！！

分别以△ABC的边AB、AC的一边，在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点，求证：MA⊥BC
不用全等也可以，能证出来就行
∠BAC和∠FAH不是对顶角。。。

Answer 1

过A做BC平行线L，如图

因为角BAC=角FAB=角HAC=90度

所以角FAH=90度

又FA=BA AC=AH 所以△fha与△abc全等

所以∠8=∠1 ∠2=∠6

因为M为中点，所以∠1=∠3  ∠4=∠2

又L∥BC 所以∠5=角6=∠2=∠4    ∠7=角8=∠1=∠3

又∠3+∠4=90度=角FAH

所以 ∠5+∠3=∠7+∠4=∠3+∠4=90度

所以MA⊥L 即MA⊥BC （L∥BC）

追问

题中没给∠BAC=90°啊？？？

Answer 2

我来答，不懂问我！！
延长MA交BC于点I
可简易证得三角形FAH和三角形BAC全等（FA=BA HA=CA 还有对顶角）所以就得到∠FAM=∠IAC，所以只要证明∠MAH=∠ACI就好了（∠FAH为直角你是知道的吧？）因为∠ACI=∠FHA（全等得到）所以∠ACI=∠MAH（直角斜边上的中点，得到AM=HM，再得角相等），所以∠ACI+∠IAC=∠FAM+∠MAH=90°，所以就完事了

批注，看我的解答时最好自己画个图，标一下角，不然会乱的。
不行的话M下，我在线

追问

∠BAC和∠FAH是对顶角吗？题里没给这个条件啊？可能我画的图有点像啊。。。

追答

这是因为BH，MI，CF为线段，线段内的对角就是对顶角。如果不懂。可以到百度查查对顶角的定义。

还有一件事，我鄙视楼下，抄袭可耻

追问

题中给的不是以三角形的一边作正方形吗？那这个正方形一定与三角形的这一边在同一条直线上吗？

追答

它们都是直角，两个直角可以构成直线
其实对顶角这个条件题目是不用说的，只要能得出直线，两条直线之间的夹角相对就是对顶角了。
像这道题，两个正方形，直角三角形，当然有直线，而且我做的辅助线是延长的，也是一条直线，就有对顶角了，是你理解错对顶角的含义了。而且这么多人回答，不可能没出现对顶角但每一个人都说有对顶角吧？这显然是不可能的。

Answer 3

延长MA交BD于点D
因为AF=AB,AH=AC,∠BAC=∠FAH (因为AF和AH分别是CA和BA的延长线，所以它们是对顶角，相等）
所以△BAC≌△FAH
所以∠HFA=∠CBA
因为MA是Rt△FAH的中线（因为∠FAB=HAC=90°，∠FAH和∠BAC是对顶角，，∠FAH=∠BAC=180°/2=90°）
所以MA=MF=MH(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
所以∠MFA=∠FAM
又因为∠HFA=∠CBA，所以∠FAM=∠CBA
因为∠FAM=∠CAD（对顶角）
所以∠CBA=∠CAD
因为∠BCA=∠ACD,∠CBA=∠CAD
所以△ABC∽△DAC
因为BA⊥AC
所以AD⊥DC
所以MA⊥BC

Answer 4

1.证明：∵DF⊥DE
∴∠EDF=∠GDF=90°
又∵ED=GD,DF=DF
∴△EDF全等于△GDF
∴EF=GF
D
是BC的中点，BD=CD
又∵ ED=GD ∠BDE=∠CDE
∴△BDE全等于△CDG
∴BE=CG
∴CG+CF＞GF
∴BE+CF＞EF
呵呵先做一题

Answer 5

∵四边形ABEF与四边形ACGH为正方形
∴AB=AF AC=AH ∠FAB+∠HAC=90° ∠HAC=90°
在△ABC与△AFH中
AB=AF
∠BAC=∠FAH
AC=AH
∴△ABC≌△FAH（SAS)
∴∠AHF=∠ACB
∠FAH=90°
∴△FAH是直角三角形
∵M是FH的中点
∴AM=HM
∴∠AHF=∠MAH
∴∠MAH=∠ACB
延长MA交BC于N
过H作HP⊥AM交AM于P
∴∠HPA=90º
∠MAH+∠NAC=90º
∠PHA+∠MAH=90º
∴∠NAC=∠PHA
在△PHA与△NAC中
∠PHA=∠NAC
HA=AC
∠ACB=∠MAH
∴△PHA≌△NAC(ASA)
∴∠ANC=∠AHP=90º
∴MN⊥BC

过程有点乱，应该是这样的。

追问

为什么∠BAC=∠FAH？