Question

证明：对任意矩阵A，有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)

Answer 1

对任意矩阵A，有R(A'A)=R(AA')=R(A)
上面一位同学的回答是正确的，但他只证明了：
R(A'A)=R(A)
对于AA'来说，
有若方程：AA'x=0那么，x'AA'x=(A'x)'(A'x)=0
一个矩阵和它的转置相乘是0，则矩阵是0。则有A'X=0
若A'x=0
有：AA'x=0
即AA'x=0 与A'x=0 同解。
所以：R(AA')=R(A')
再利用线性代数关于转置矩阵对结论，
R(A)=R(A')
记得证明：
R(A'A)=R(AA')=R(A)
下一次希望同学把A的转置写成：A'这样就不会出现理解为A的T此房的误解。（当然，A^T也不算错）。

Answer 2

证明方程AX=0与A^TAX=0同解
AX=0 显然有A^T*AX=0
A^T*AX=0则有X^T*A^T*AX=0 即(AX)^T*AX=0，
一个矩阵和它的转置相乘是0，则矩阵是0。则有AX=0
同解说明基相同，基相同说明自由量数相等
n- r（A^T*A）=n-r（A）
则r（A^T*A）＝r（A）

Answer 3

还是去请教陈文灯吧~