Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC 于D BF平分∠ABC，交AC于F 交AD于E, 求证（1）AE=AF(2)AB·BF=BE

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC 于D BF平分∠ABC，交AC于F 交AD于E, 求证（1）AE=AF(2)AB·BF=BE·CB

Answer 1

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD=90°-∠ABC=∠C，
又∵∠ABE=∠CBF,，
对于△ABE，∠AEF=∠BAD+∠ABE；
对于△CBF，∠AFE=∠C+∠CBF，
∴∠AEF=∠AFE，得AE=AF。
由上述可以见到△ABE∽△CBF，AB/CB=BE/BF，
∴AB*BF=BE*CB。

Answer 2

1)
用内角和
∵∠FBC+∠BEF=90°
∠ABF+∠AFB=90°
∵∠ABF=∠ABC
∴∠BED=∠AFB
∴∠AEF=∠AFB
∴AE=AF（等角对等边0

Answer 3

证明：1、
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF＝∠CBF
∵∠BAC＝90
∴∠ABF+∠AFB＝90
∵AD⊥BC
∴∠CBF+∠BED＝90
∴∠AFB＝∠BED
∵∠BED＝∠AEF
∴∠AFB＝∠AEF
∴AE＝AF
2、
∵∠BAC＝90
∴∠C+∠ABC＝90
∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠ABC＝90
∴∠C＝∠BAD
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF＝∠CBF
∴△ABE相似于△CBF
∴BE/AB＝BF/BC
∴AB•BF=BE•CB