Question

一道数学中考题最后一问，求解

图不好画，我尽量说详细一点。y=-x²-2x+3 顶点C(-2,3) 与X轴交点A(-3,0) B(1,0) 过C作CH⊥x轴于H P为x轴上方抛物线上一动点（不与C重合） PQ⊥AC于Q 当△PCQ 与△ACH相似时，求P点坐标。 想出来翻折找和抛物线交点了，但是还是不会求，多谢大家。
抱歉C是（-1，4）弄错了

Answer 1

解:这最后一问应该分两种情况.
1)当点P在X轴上方CH左侧抛物线上时:
取点H关于AC的对称点E,连接CE,EA.连接EH交AC于G,则AC垂直平分EH.
AH=2,CH=4,则AC=2√5.
由面积关系知:AC*GH=AH*CH,2√5*GH=2*4,GH=4/√5,EH=2GH=8/√5=8√5/5.
作EF垂直X轴于F,则⊿HFE∽⊿CHA,EF/AH=HE/CA,EF/2=(8√5/5)/(2√5)=4/5,EF=8/5.
同理可求:HF=16/5,OF=HF+OH=21/5.即点E的坐标为(-21/5,8/5).
利用E,C两点的坐标可求得直线EC的解析式,把它与抛物线y=-x²-2x+3联立方程组即可求得点P的横坐标与纵坐标;
【理由:若过点P作PQ垂直AC于Q,∠PCQ=∠ACH,∠PQC=∠AHC=90°.故⊿PQC∽⊿AHC.】
2)当点P在X轴上方AH右侧的抛物线上时:
作AC的中垂线,交X轴于J,交AC于I,连接CJ,交抛物线于P,则∠PCA=∠HAC;若再作PQ垂直AC于Q,
∠PQC=∠CHA=90度,可知⊿PQC∽⊿CHA.如何求点P的坐标呢?
∵∠AJI=∠ACH(均为角HAC的余角);
∠JAI=∠CAH.
∴⊿JAI∽⊿CAH,又AH=2,CH=4,AC=2√5,AI=AC/2=√5.
则JA/CA=AI/AH,JA/(2√5)=√5/2, JA=5,则OJ=2,点J为(2,0).
同样利用点J和C两点的坐标即可求得直线JC的解析式,把它与抛物线y=-x²-2x+3联立方程组即可求得这种情况下点P的横坐标与纵坐标了.

Answer 2

AC的斜率为2
设PQ的斜率为K
则(K-2)/(1+2K)=2
整理得K=-4/3
PC直线为(y-4)/(x+1)=-4/3
整理得4x+3y-8=0
代入抛物线8-4x=-3x^2-6x+9
3x^2+2x-1=0
x=-1,或 x=1/3
x=-1是C点坐标
所以x=1/3
y=20/9
p点坐标为（1/3,20/9)

Answer 3

△ACH的三条边都能求出来，分别是,2，4，根号20,；
AC的垂直平分线与抛物线的交点，在x轴上方的即为所求点P。
设这条垂直平分线即PQ与对称轴交点为点M，可利用△CQM∽△ACH，（其中CQ=根号5，CH=4，AC=根号20）可求出CM=2.5，则M（-1,2.5）Q（-2,2），得到直线PQ的解析式，跟抛物线解析式联立即可解出P点坐标。
上面的思路希望对你有所帮助。

Answer 4

解：(思路：如图求直线CP和抛物线的交点即为P点坐标，也许还有更简单的，望相互交流！）

如图当△PCQ 与△ACH相似时，

(1)若是∠PCQ=∠ACH，则P在对称轴左边

所以AC是∠PCH的角平分线，

延长直线CP交x轴于D，过AE⊥CP交于E，则有  CE=CH=4     AE=AH=-1-(-3)=2

设AD=d，由勾股定理可得：DE=√(d²-4)

又AC是∠PCH的角平分线，所以有  

CD ：CH=AD ：AH

4+√(d²-4) ：4=d ：2

化简得；3d²-16d+20=0

             (d-2)(3d-10)=0

      d1=2     d2=10/3

当d=2时，DE=√(d²-4)=0    不符合题意

 所以 d=10/3

所以D点x轴的坐标为 -3-10/3=-19/3

所以D点的坐标为(-19/3，0)

又直线CD过点C（-1，4），设直线CD为：y=kx+b

有(-19/3)k+b=0           -k+b=4

所以k= 3/4     b=19/4  

所以直线CD为：y=(3/4)x+19/4

解以下方程组的解为P，C点坐标

y=-x²-2x+3                 x1=-7/4              x2=-1

y=(3/4)x+19/4            y1=55/16           y2=4

所以P的坐标为：(-7/4，55/16 ) 

(2)∠PCQ=∠CAH，则P在对称轴右边，必有CF⊥CD

设直线CF：y=Kx+B

K·k=-1   =>  K=-4/3

CF：y=(-4/3)x+B过C点，则CF：y=(-4/3)x+8/3

解以下方程组的解为P，C点坐标

y=-x²-2x+3                 x1=-1/3              x2=-1

y=(-4/3)x+8/3           y1=28/9           y2=4

所以P的坐标为：(-1/3，28/9 )

Answer 5

解：
因为AC的斜率为2
设PQ的斜率为K
则(K-2)/(1+2K)=2
整理得K=-4/3
PC直线为(y-4)/(x+1)=-4/3
整理得4x+3y-8=0
代入抛物线8-4x=-3x^2-6x+9
3x^2+2x-1=0
x=-1,或 x=1/3
x=-1是C点坐标
所以x=1/3
y=20/9
p点坐标为（1/3,20/9)
即求得……

追问

即求得....什么？问题问的就是P点坐标，您抄别人的还加一句，弄巧成拙

Answer 6

我就说说思路吧！H(-1,0),AH=2，CH=4;AC=2根5，lAC解析式：y=2x+6,设P(x,y),PC^2=(X+1)^2+(4-Y)^2,PQ=2x-y+6的绝对值与根5的商（点到直线距离公式），利用相似得CP/AC=PQ/AH,代入化简得一个式子，再有P在抛物线上得一个式子，联立求解，即可求得P（-7/4,55/16)
不知道算对没的，思路清楚了吧！希望帮到你了