Question

设F(C,0)是x²/a²+y²/b²=1 （a>b>0)的右焦点，经过F的直线L与椭圆相交于A,B两点

设F(C,0)是x²/a²+y²/b²=1 （a>b>0)的右焦点，经过F的直线L与椭圆相交于A,B两点，若l绕F任意转动，证明：当且仅当e满足0<e< (-1+√5）/2,点o在以AB为直径的圆内。

Answer 1

F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为
延TO交圆O于N
易知直线A1B2斜率为1,TM=MO=ON=1,A1B2=√2
设T(x,y),则TB2=√2x,y=x+1
由割线定理:TB2*TA1=TM*TN
√2x(√2x+√2)=1*3,
x=(√7-1)/2(负值舍去)
y=(√7+1)/2
易知:B1(0,-1)
直线B1T方程:
(y+1)/[(√7+1)/2+1]=(x-0)/[(√7-1)/2-0]
令y=0
x=2√7-5,即F横坐标

Answer 2

提示一下：点o在以AB为直径的圆上，则必有AO垂直于BO；
点o在以AB为直径的圆内，则必有角AOB为钝角，向量a乘以向量b小于0；
联立直线与椭圆的方程，求出t=x1x2+y1y2；t<0再解出e即可。

Answer 3

fvbfbfbxccxc fdhfgbvcb