Question

已知函数f（x）=（a+x）/（a-x），（a∈R，a>0），且f（1）+f（3）=-2.

已知函数f（x）=（a+x）/（a-x），（a∈R，a>0），且f（1）+f（3）=-2. （1）、求a值； （2）、求证：f（x）在（a，+∞）上是增函数；
（3）、是否存在实数m，n，使得｛y|y=f（x），x∈[m，n]｝=｛m，n｝成立？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

已知函数f（x）=（a+x）/（a-x），（a∈R，a>0），且f（1）+f（3）=-2. （1）、求a值； （2）、求证：f（x）在（a，+∞）上是增函数；
（3）、是否存在实数m，n，使得｛y|y=f（x），x∈[m，n]｝=[m，n]成立？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，说明理由。
解：(1).f(1)+f(3)=(a+1)/(a-1)+(a+3)/(a-3)=[(a+1)(a-3)+(a+3)(a-1)]/[(a-1)(a-3)]
=(2a²-6)/(a²-4a+3)=-2，故得a²-3=-(a²-4a+3)， 2a²-4a=2a(a-2)=0，故a=2.
(2)设0<a<x₁<x₂<+∞是(a，+∞）上任意两点，由于f(x₁)-f(x₂)=(a+x₁)/(a-x₁)-(a+x₂)/(a-x₂)
=[(a+x₁)(a-x₂)-(a+x₂)(a-x₁)]/[(a-x₁)(a-x₂)]=2a(x₁-x₂)/[(a-x₁)(a-x₂)]<0
故f(x₁)<f(x₂)，∴f(x)在区间(a，+∞）单调增。(上面的不等式之所以<0，是因为x₁-x₂<0，
a-x₁<0，a-x₂<0之所致）。
(3)令f(m)=(a+m)/(a-m)=m,，即有a+m=m(a-m)，m²+(1-a)m+a= 0.........(1)
若其判别式Δ=(1-a)²-4a=1-6a+a² >0，即当a<(6-√32)/2=3-2√2或a>3+2√2时方程(1)有解。
比如取a=6，则有m²-5m+6=(m-2)(m-3)=0，于是可取m=2，n=3，这时;
f(2)=(6+2)/(6-2)=8/4=2，f(3)=(6+3)/(6-3)=9/4=3，即当x∈[2，3]时，f(x)=(6+x)/(6-x)∈[2，3]
至于要“求出所有的m，n的值”，似乎不可能。

Answer 2

1、f(1)+f(3)=-2,则(a+1)/(a-1)+(a+3)/(a-3)=-2 可得a=0或a=2,因为a>0，所以a=2；
2、f(x)=（2+x)/(2-x)=4/(2-x)-1
在（2，+∞）范围内，2-x<0且递减，则4/（2-x）递增，则f(x)递增；
3、 1）当m>2时，f(2)递增，则有f(m)=m, f(n)=n; 得出m^2-m+2=0 无解；不存在
2）当m<2时，f(2)递增，同样有f(m)=m，f(n)=n；同样无解；所以不存在；
不存在这样的m,n值。

Answer 3

由f（1）+f（3）=-2. 得（a+1）/（a-1）+（a+3）/（a-3）=-2得a=2
在（a，+∞）上f（x+1）-f（x）=（3+x）/（3-x）-（2+x）/（2-x）=2x/（x-2）*（x-3）>0 得f（x）在（a，+∞）上是增函数