Question

等式两边分别对x求导，xy+y-x－8=0。这怎么做，什么意思，求高人指点，...

等式两边分别对x求导，xy+y-x－8=0。这怎么做，什么意思，求高人指点，解释清楚一点。。。。。。。

Answer 1

本题涉及到的是隐函数求导的表达问题：

1、这是一种定义方法，通过方程 xy + y - x - 8 = 0 定义y是x的函数，
这种方程，一般是解不出一个具体的表达式，y = f(x)。
如果能写出 y = f(x) 这样的表达式，就称为y是x的显函数，explicit function；
如果不能写出一个具体的表达式，就称为y是x的隐函数，implicit function。

2、无论是显函数，还是隐函数；无论解得出 y = f(x) ，还是解不出，都不能改变y是x的
函数的事实。
所以， xy + y - x - 8 = 0 两边都是x的函数，两边都对x求导，
左边变成：y + xy ' + y' - 1 (说明左边既是x的函数，又是y的函数，最后还是x的函数，
x对x求导，y也对x求导，这就是隐函数的链式求导)；
右边变成：0 (说明右边不含x，不含y，不是x、y的函数)
所以， y + xy ' + y' - 1 = 0，y' = (1 - y)/(1 + x)
同样地，y ‘ 的表达式中，也不一定都是x，也可能包括y，隐函数的导数就是这样表达的。
可能是解不出，可能是不愿解，没有必要解，都没有关系，没有规定，一定要显式表达。

Answer 2

参考高等数学上册复合函数偏导的求法！本题对X求偏导时候，把Y看成是关于X的函数就行了，即为：Y+Xdy/dx+dy/dx-1=0