Question

一道初三的数学题目，各位路过的好心帮帮忙吧

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，最低点为M，且S△AMB= 5/6
（1）求此抛物线的解析式。
（2）如果点P由点A开始沿射线AB以2cm/s的速度移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时运动结束。
①在运动过程中，P、Q两点间的距离是否存在最小值，如果存在，请求出它的最小值。
②当PQ取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。

麻烦各位过程写详细点，孩纸要认真看看滴...

Answer 1

解：（1）A（0，-2）B（2，-2）C（2，0）
因为抛物线过A、B、D
所以可列方程组c=-2
4a+2b+c=-2
16a+4b+c=-2/3
解得a=-1/3
b=2/3
c=-2
所以抛物线为y=-1/3x^2+2/3x-2
（2）①因为P从A到B，所以0≤t≤1
PB=2-2t，QB=t
所以PQ=根号下（（2-2t)^2+t^2）
所以S=5t^2-8t+4
②S=5(t-4/5)^2+4/5
所以t=4/5时S最小，为4/5
此时P（8/5，-2）Q（2，-6/5）
若PB与QR平行
则R在直线y=-6/5上，且QR=PB=2/5
所以R（8/5，-6/5）或（12/5，-6/5）
若QB与PR平行，PQ与BR平行
则R在直线x=8/5上，且PR=4/5
所以R（8/5，-14/5）
综上，R（8/5，-6/5）或（12/5，-6/5）或（8/5，-14/5）