Question

一道初三的数学题目，各位路过的好心帮帮忙吧

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，最低点为M，且S△AMB= 5/6
（1）求此抛物线的解析式。
（2）如果点P由点A开始沿射线AB以2cm/s的速度移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时运动结束。
①在运动过程中，P、Q两点间的距离是否存在最小值，如果存在，请求出它的最小值。
②当PQ取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。

麻烦各位过程写详细点，孩纸要认真看看滴...

Answer 1

解：∵ 正方形OABC的边长为2cm，
∴OA=OC=AB=BC=2
∴A(0，-2)；B(2，-2)；C(2，0)；
又∵最低点为M，△AMB中AM=BM，S△AMB= 5/6
∴AB上的高为：2×5/6÷2=5/6
∴M（1，-2-5/6）即(1，-17/6)
∴y=ax²+bx+c中
由A(0，-2)，B(2，-2)，M（1，-17/6）得
-2=c a=5/6
-2=4a+2b+c b=-5/3
-17/6=a+b+c c= -2
抛物线的解析式：y=(5/6)x²- (5/3)x-2
（2）①设运动时间为t秒，在运动过程中，P、Q在两点与B点形成一直角三角形，有
PQ=√(BP²+BQ²)=√[(2-2t)²+t²]=√(5t²-8t+4)=√[5(t-4/5)²+4/5]
当t=4/5时，PQ=√（4/5)=（2√5）/5为最小值。
②当PQ取得最小值时，若抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形。
分以下三种情况：
第一种情况：
以BP，QR为上下底，
R纵坐标与Q纵坐标相同，值为-2+4/5=-6/5
当y=-6/5时，有-6/5=(5/6)x²- (5/3)x-2
x1= -2/5 x2=12/5
所以R的坐标为（-2/5，-6/5）或（12/5，-6/5）
第二种情况：
以BQ，PR为上下底，
R纵坐标与P横坐标相同，值为2×4/5=8/5
当x=8/5时，有y=(5/6)(8/5)²- (5/3)(8/5)-2=-38/15
所以R的坐标为（8/5，-38/15）
第三种情况：
以PQ，BR为上下底，此时PQ//BR，
设直线BR：y=kx+b 由图象可知，k=BQ/BP=t/(2-2t)=(4/5)/(2-8/5)=2
直线BR：y=2x+b 过 B(2，-2)有：-2=4+b 得b=- 6
直线BR：y=2x-6交抛物线y=(5/6)x²- (5/3)x-2于点R，B两点
y=2x-6 x1=12/5 x2=2
y=(5/6)x²- (5/3)x-2 y1=-6/5 y2=-2
所以R的坐标为（12/5，-6/5）

Answer 2

(1)因为S△AMB=5/6 所以 1/2(2*h)=5/6 得 h=5/6
所以 M(1，-17/6)
由上A(0，-2) B(2，-2)
把三个点带入抛物线等式得a=5/6 b=-3/5 c=-2
得抛物线为 y=5/6x²-5/3x-2
(2)设PB=2-a BP=1/2a a(0,2)
PQ²=5/4a²-4a+4
=5/4(a-8/5)²+4/5 a(0,2)
所以当a=8/5时有最小值 pQ=√4/5 (是根号）
（3）Q(2，-6/5) 在图上做平行线得R(x1,-6/5) X1
带入（1）中抛物线 得x1
-6/5=5/6x²-5/3x-2 用公式算，Δ 〉0 所以应该是存在的 注意有两个一正一副

剩下的你自己算吧，很久没学数学了不懂个对，不对勿喷！

Answer 3

不女