Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60度，则该等腰梯形的面积为多少？

Answer 1

延长BC至G，使AD=CG                由AD平行且等于CG 证平行四边形ADCG

那么BG=AD+BC=4  角BDG=60度 AC=DG

又因为等腰梯形的对角线相等 所以ac=bd=dg

因为bd=dg ∠bdc=60° 所以等边三角形bdg 则其高长为 二根号三

则三角形bdg面积为 4*二根号三*二分之一=四根号三

而梯形面积正好是底乘高除二 正好是三角形bdg面积

Answer 2

解：过对角线的交点O作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F
∵等腰梯形ABCD
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB
∵BC＝BC
∴△ABC全等于△DCB
∴∠ACB＝∠DBC
∴∠ABO＝∠DCO
∵∠AOB＝∠DOB
∴△AOB全等于△DOC
∴BO＝CO
∵AD∥BC，EF⊥AD
∴EF⊥BC
∴∠BOF＝∠COF，BF＝CF＝BC/2
∵∠DOC＝60
∴∠BOF＝∠COF＝（180-∠DOC）/2＝60
∴OF/BF＝1/√3
∴OF＝BF/√3
∴OF＝BC/2√3
同理可证：OE＝AD/2√3
∴EF＝OE+OF＝AD/2√3+BC/2√3＝（AD+BC）/2√3
∵AD+BC＝4
∴EF＝4/2√3＝2/√3
∴S梯形＝（AD+BC）×EF/2＝（4×2/√3）/2＝4√3/3