Question

三重积分和二重积分的应用

Answer 1

答：3πa⁴/32 和 4/3

（1）：
体积 = ∫∫_(D) z dxdy
= ∫∫_(D) (x²+y²) dxdy
D为圆域x²+y²=ax,x≥0，极坐标换元，
= ∫(-π/2,π/2) dθ ∫(0,acosθ) r²*r dr
= 2∫(0,π/2) dθ ∫(0,acosθ) r³ dr
= 2∫(0,π/2) (1/4)a⁴cos⁴θ dθ
= (2)(1/4)(a⁴)*(3*1)/(4*2)*π/2，Wallis公式化简
= 3πa⁴/32

（2）：
质量 = ∫∫_(D) μ(x,y) dxdy
= ∫∫_(D) (x²+y²) dxdy
= ∫(0,1) dy ∫(y,2-y) (x²+y²) dx
= ∫(0,1) (- 8y³/3+4y²-4y+8/3) dy
= 4/3

Answer 2

，