Question

非对称矩阵的二次型

设一个一般方阵（非对称矩阵）是A，则f（x）=x‘Ax也是一个二次型，并且这个二次型的矩阵是(A'+A)/2。
请问如何证明这个二次型的矩阵是(A'+A)/2？

Answer 1

注意到f（x）是1×1的，当然有f(x)'=f(x)
对 f(x)=x‘Ax (1)
转置得 f(x)'=x‘A'x (2)
(1)+(2)得： 2f(x)=x‘(A+A')x
f(x)=x‘((A+A')/2)x
故这个二次型的矩阵是(A'+A)/2

追问

请问“f（x）是1×1的”是什么意思？

追答

f（x）是一个数的意思，可以看成1×1的矩阵

Answer 2

注意到f（x）是1×1的，当然有f(x)'=f(x)
对
f(x)=x‘Ax
(1)
转置得
f(x)'=x‘A'x
(2)
(1)+(2)得：
2f(x)=x‘(A+A')x
f(x)=x‘((A+A')/2)x
故这个二次型的矩阵是(A'+A)/2