Question

1^∞型未定式极限。

Answer 1

分析：

(∞-∞)属不定式，一般将它化为0/0型、或∞/∞型来求极限，但本题没法化，于是用具体数据推理，取x＝10^2、10^3、10^4、10^5 ··· ，得到x→∞时，极限为(lnx－x)＝－∞。

解题方法：

法一：

本题也算是众多∞-∞型题里比较经典的一个，尤其是第三步用平方差公式再用等价无穷小替换的巧妙使得计算量大大缩减，其实本也可以使用洛必达法则一直洛下去。

法二：

这种方法并不推荐使用，为什么，从命题人的出发角度，他出这道题的意愿大概率并不是让你一直无脑的用洛必达，虽然洛必达法则很强大，这样的话就没区分度了。

Answer 2

转为第二个重要极限公式，或者取对数后使用等价无穷小替换

追问

防不胜防啊，这么玄，有没有别的常规解法？

追答

追问

精彩

话说如果不知道等价无穷小替换公式，x趋于0，0乘以3等于0，就剩个1，log e 1岂不等于0了，貌似我这个逻辑也没有什么不对啊

追答

对的，然后呢，前面不是还有2/sinx么，你怎么处理？

Answer 3

根据第二个重要极限公式及变形

Answer 4

令y＝[1+(a/x)]^x

两边同时取自然对数，得：

㏑y＝㏑{[1+(a/x)]^x}

即㏑y＝x㏑[1+(a/x)]

lim(x→∞)x㏑[1+(a/x)]

＝lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）

根据洛必达法则：

lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）

＝lim(x→∞){(-a/x²)[x/（x+a）]}/(-1/x²)

＝lim(x→∞)ax²/[x（x+1）]

＝lim(x→∞)2ax/2x+a

＝2a/2

＝a

∴lim(x→∞)[1+(a/x)]^x=e^a

至于lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e的证明，把a换成1就行了

Answer 5

这个极限题我做不出来，我不会做几件题，但是我放到网上查出来结果了。告诉你，你也去查吧，网就是你的好老师。