Question

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2倍根号3.点P的坐标为(0,-2),

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2倍根号3.点P的坐标为(0,-2),过P的直线L与双曲线C交于不同两点M,N（1）求双曲线C的方程；（2）设t=向量OM*向量OP+向量OM*向量PN，求t的取值范围
主要是第二问。。。谢谢了

Answer 1

（1）c=2a,b=2√3,12=3a^2,a^2=4,b^2=12,双曲线C的方程x^2/4 - y^2/12=1
(2)设M（x1,y1),N(x2,y2),则t=(OM)*(OP)+ (OM )*(PN)=-2y+x1x2+y1(y2+2)
1)易知焦点到渐近线的间隔为b=2√3,又e=c/a=2,易求a=4,故双曲线方程为x2/16-y2/12=1 2)记功点P的直线方程为y=kx-2,点M(x1,y1),N(x2,y2) 直线方程代入双曲线方程化简为:(3-4k2)x2+16kx-64=0 ☆ 则x1+x2=16k/(4k2-3),x1x2=64/(4k2-3), 又向量OM=(x1,y1),OP=(0,-2),PN=(x2,y2+2), 则t=(OM)* (OP）+ (OM )*(PN)=-2y1+x1x2+y1(y2+2)=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4 = (48k2+52)/(4k2-3)=12+88/(4k2-3) 又方程☆有两个不等实根，故有△=256k2+256(3-4k2)>0，且3-4k2≠0,得0≤k2<1且k2≠3/4 所以t≤-52/3或t>100