Question

反常积分∫[1/x(1+x^2)]dx等于多少，积分上下限分别为+∞，1

反常积分∫[1/x(1+x^2)]dx等于多少，积分上下限分别为+∞，1。为什么令x=tant求不对

Answer 1

∫dx的/ [（1 +χ^ 2）] = - ∫dx的/ [χ^ 3（1 / x的^ 2 +1）] = - （1/2）∫天（1 /χ^ 2）/（ 1 1 /χ^ 2）
=（-1 / 2）LN（1 1 /χ^ 2）+

∫[1 +∞] dx的/ [（1 + X ^ 2）]

=（-1 / 2）LN1-（-1 / 2）LN2

=（1/2）LN2

∫dx的/ [×（1 +χ^ 2）]×= TANT =∫cottdt = LN（圣尤斯特歇斯）+ C

-1 <圣尤斯特歇斯<1，和∞没有对应关系，因此∫[0，+α] dx的/ [X（1 + x ^ 2）]不能使用x = TANT替代

Answer 2

∫dx/[x(1+x^2)]=-∫dx/[x^3(1/x^2+1)]=-(1/2)∫d(1/x^2)/(1+1/x^2)
=(-1/2)ln(1+1/x^2)+C
∫[1,+∞] dx/[x(1+x^2)]
=(-1/2)ln1-(-1/2)ln2
=(1/2)ln2

∫dx/[x(1+x^2)] x=tant =∫cottdt=ln(sint) +C
-1<sint<1,和∞没有对应关系，因此∫[0,+∝] dx/[x(1+x^2)] 没法使用x=tant 换元