Question

函数y=x+√(1-2x)的值域为

Answer 1

y=x+√(1-2x)的定义域为x<=1/2
设u=x，v=√(1-2x)，则u<=1/2，v>=0，2u+v^2=1，y=u+v
在平面uOv中，v^2=-2(u-1/2)(u<1/2，v>=0)表示顶点为(1/2,0)、焦点(-1/2,0)的抛物线的上半部分。
用线性规划，求在约束条件v^2=-2(u-1/2)(u<1/2，v>=0)下，目标函数y=u+v的取值范围。
联立可得：v^2-2v+2y-1=0，判别式=4-8y+4=0，y=1。
函数y=x+√(1-2x)的值域为(-无穷,1]

Answer 2

定义域为1-2x≥0，即x≤1/2
令√(1-2x)=t≥0，
则x=(1/2)(1-t^2)≤1/2
所以
y=1/2-(1/2)(t^2)+t
=-(1/2)[(t^2)-2t+1]+1
=-(1/2)[(t-1)^2]+1
其中，t≥0
所以，y的最大值为1，在t=1（即x=0）时取得；最小值不存在。
所以，y的值域为(-∞，1]。