Question

已知双曲线x²-y²=2的左右焦点为F1F2过点F2的动直线与双曲线相交于AB两点

（1）若动点M满足向量F1M=F1A+F1B+F1O(其中o为坐标原点)，求点M的轨迹方程
（2）在x轴上是否存在定点c，是向量CA×向量CB为常数？若存在，求出c点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)设M(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的方程为x=my+2，代入双曲线方程：(m^2-1)y^2+4my+2=0
y1+y2=-4m/(m^2-1)，y1y2=2/(m^2-1)
x1+x2=m(y1+y2)+4=-4/(m^2-1)，x1x2=m^2y1y2+2m(y1+y2)+4=-(2m^2+4)/(m^2-1)
(x,y)=(x1+x2+6,y1+y2)=(-4/(m^2-1)+6,-4m/(m^-1))
x=-4/(m^2-1)+6，y=-4m/(m^2-1)，m=y/(x-6)，x=-4/{[y/(x-6)]^2-1}+6，
M的轨迹方程为：(x-8)^2-y^2=4
(2)设C(t,0)，向量CA=(x1-t,y1)，向量CB=(x2-t,y2)
向量CA*向量CB=x1x2-t(x1+x2)+t^2+y1y2=[(t^2-2)m^2-(t^2+4t+2)]/(m^2-1)
若向量CA*向量CB为常数，则t^2-2=t^2+4t+2，t=-1，C(-1,0)，向量CA*向量CB=-1

Answer 2