Question

高中数学题 只做第二问

Answer 1

1、解：∵f(x) =（ax+b）/（x2+1）（a＞0）

∴f′(x)=【a（x2+1）－2x（ax+b）】／（x2+1）2

即：f′(x)=（﹣ax2－2bx＋a）／（x2+1）2

令f′(x)=0 ，即：（﹣ax2－2bx＋a）／（x2+1）2 = 0 ∴﹣ax2－2bx＋a=0

∴ax2＋2bx－a = 0（a＞0） 。。。（1）。。。

又函数f(x)的极大值为1，极小值为-1，即：方程（1）存在两个异实根x1，x2（x1＜x2）。

∴Δ=4b2－4a·（﹣a）＝4（a2＋b2）＞0

由韦达定理得：x1＋x2 = ﹣2b／a

x1·x2 =﹣1

又令f′(x）＜0 ，即：（﹣ax2－2bx＋a）／（x2+1）2 ＜ 0

∴﹣ax2－2bx＋a＜0 ∴ax2＋2bx－a ＞ 0（a＞0） ∴x＜x1或x＞x2

∴ x （﹣∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，﹢∞）

f ′（x） ﹣ 0 ﹢ 0 ﹣

f（x） 减 极小值 增 极大值 减

∴函数f（x）在x=x1处取得极小值﹣1，在x=x2处取得极大值1。

即：f（x1）= ﹣1 ， f（x2）= 1

∴f（x1）＋f（x2）＝（ax1+b）/（x12+1） ＋ （ax2+b）/（x22+1）

＝【（ax1+b）·（x22+1） ＋ （ax2+b）·（x12+1） 】／【（x12＋1）·（x22＋1）】

＝【a（x1·x2）（x1＋x2）＋ a（x1＋x2）＋b（x12＋x22＋2）】／【x12 ·x22 ＋（x12＋x22）＋1】

＝b（x12＋x22＋2）／（x12＋x22＋2）= b = ﹣1＋1 = 0

∴b = 0 ∴f（x）= ax ／（x2+1）（a＞0）

∴方程（1）转化为ax2－a = 0（a＞0） ∴x1=﹣1，x2=1

∴f（﹣1）= ﹣1 ， f（1）= 1 分别代入即得：a／（1+1） = 1

∴a=2

补充：
（数学归纳法、比较法）

2、证明：当n=1时，n^2 = 12=1，2^n = 21= 2，1＜2

显然，当n=1时，n2＜2^n成立。

令an = 2^n／n2 ，则a（n+1）=2^（n+1）／（n+1）2

当n≥5时，显然有an＞0且a5 = 32／25＞1且2n2－（n+1）2＝（n－1）2－2≥（5－1）2－2＞0

∴当n≥5时，2n2／（n+1）2 ＞1

∴a（n+1）／an = （2^（n+1）／（n+1）2）／（2^n／n2） = 2n2／（n+1）2＞1

∴a（n+1）＞an ＞0 （n≥5）

即：当n≥5时，an随着n的增大而增大，那么an≥a5＞1（n≥5）。

即：an = 2^n／n2 ＞1

∴n2＜2^n (n≥5)

综上所述，当n=1或n≥5时，n^2<2^n.

追问：
2n2－（n+1）2＝（n－1）2－2≥（5－1）2－2＞0

这一步，我看不懂？

回答：
。。。。

当n≥5时，显然有an＞0且a5 = 32／25＞1且2n2－（n+1）2＝（n－1）2－2≥（5－1）2－2＞0

∴当n≥5时，2n2／（n+1）2 ＞1

。。。

这个n≥5是知道的，那么当n≥5时，

2n2－（n+1）2

=n2－2n－1

=（n－1）2－2

≥（5－1）2－2 （因为n≥5时，是递增的） 而（5－1）2－2 = 14，显然14＞0

即：2n2－（n+1）2 ＞0

∴2n2＞（n+1）2 又（n+1）2＞0 两边同时除以（n+1）2得：

2n2／（n+1）2 ＞1（这是在n≥5的条件下满足的）

即：当n≥5时，2n2／（n+1）2 ＞1