Question

奥数题求解： 若“*”表示一种运算 满足如下关系：

若“*”表示一种运算 满足如下关系：
（1）1*1=2 ;
（2）(n+1)*1=3(n*1)+2 (n∈N+)；
则n*1=________

答案是：(3^n) -1
想请问这个结果是怎么推出来的 麻烦把过程打出来 谢谢了

Answer 1

首先找规律：
令n=1，则根据第二个等式得：
2*1=3X2+2=8=3X2+2
令n=2，则：
3*1=3X8+2=26=3X3X2+3X2+2
令n=3，则：
4*1=3X26+2=80=3X3X3X2+3X3X2+3X2+2
由此可以推断：
n*1=(3^(n-1)+3^(n-2)+...+3^2+3^1+3^0)X2=(3^n-1)/(3-1)X2=3^n-1，其中n=1、2、3....

然后用归纳法证明：
当n=1时，左边=1*1=3^1-1=2=右边
假定n=k时等式成立，即k*1=3^k-1成立
则n=k+1时，左边=(k+1)*1=3(k*1)+2=3*(3^k-1)+2=3^(k+1)-3+2=3^(k+1)-1=右边。
所以，对于所有的n∈N+，恒有：n*1=3^n-1。

Answer 2

an+1=3an+2
a(n+1)+1=3(an+1)
等比数列
an+1=(a1+1)*3^(n-1)
a1=1*1=2
所以
an+1=(a1+1)*3^(n-1)=n*1+1=3^n
n*1=3^n-1

Answer 3

*表示+，因为在目前只有1加1才等于2.
（n+1)+1=3(n+1)+2
n+2=3n+5
-2n=3
n=-1.5
n+1=0.5
则n*1=0.5