Question

在数列an中，a1=1,an+1=3an+3^n（1）设bn=an/3^n-1 证明:数列{bn}是等差数列（2）求数列an的前n项和Sn

设cn=an/4^n-1，求数列的最大项

Answer 1

⑴因为bn=an/3^n-1，所以bn+1=an+1/3^n，所以bn+1=3an+3^n/3^n，所以bn+1-bn=3an+3^n/3^n-3an/3^n=1，所以bn是以1为公差，首项为1的等差数列，
⑵因为bn为等差数列，所以bn的通项公式为bn=n，又因为bn=an/3^n-1，所以an =n*3^n-1，所以Sn =1*3^0+2*3^1+3*3^2+.......+n*3^n-1①
由①*3得到∶3Sn =1*3^1+2*3^2+3*3^3+.......+n*3^n②
由①-②得到-2Sn=1+3^1+3^2+3^3+.....+(n-1)*3^n-1-n*3^n-1，整理得∶Sn=-3/4*3^n-1+7/4+n/2*3^n，
③因为an =n*3^n-1，cn=an/4^n-1，所以cn=n*3^n-1/4^n-1，整理得cn=n*(3/4)^n-1，所以cn+1=(n+1)*(3/4)^n，所以cn+1/cn=3/4*(n+1)/n<1时，取的最大，解得n>3，所以n>3时cn开始递减，所以n=2时取的最大项3/2，死了n多脑细胞，O(∩_∩)O，希望对你有帮助