Question

求下列微分方程的通解 y'+x=根号下（x2+y） 2. 2（lny-x)y'=y

Answer 1

1. y' + x = √(x²+y) 换元，令 u = √(x²+y) ， 化为齐次方程，再求解，相当麻烦。

2. （lny-x) dy/dx = y
=> dx/dy + (1/y) x = lny / y 这是 x 为未知函数，y 为自变量的一阶线性方程，可解。

Answer 2

y'+x=√(x^2+y)
设y=x^2u
dy=2xudx+x^2du
2xudx+x^2du+xdx=x√(1+u)dx
2udx+xdu+dx=√(1+u)dx
xdu=[√(1+u)-2u-1]dx
du/[√(1+u)-2u-1] =dx/x
ln|x|=∫du/[√(1+u)-2u-1]
=∫2√(u+1)d√(u+1)/[√(1+u)-2√(1+u)^2+1]
=∫-2√(u+1)d√(u+1)[/(2√(1+u)+1)(√(1+u)-1)]
=(-2/3)∫d√(u+1)/(2√(1+u)+1) -(2/3)d√(1+u)/(∫√(1+u)-1
=(-1/3)ln|2√(1+u)+1| -(2/3)ln|√(1+u)-1| +C
通解
ln|x|=(-1/3)ln|2√(1+y/x^2) +1| -(2/3)ln|√(1+y/x^2) -1| +C

2
(lny-x)y'=y
(lny-x)y'/y=1
(lny-x) (dlny)=dx
lny-x=u
dx=dlny-du
udlny=dlny-du
du= (1-u)dlny
-ln|1-u| =lny+C
通解-ln|1-lny+x|=lny+c