Question

同济高数书上 绝对收敛级数的乘法 的证明有点看不懂

定理:设级数u1+u2+...和v1+v2+...都绝对收敛,其和分别为s,o.则它们的柯西乘积u1v1+(u1v2+u2v1)+...+(u1vn+u2vn-1+...unv1)+... 也是绝对收敛的,且其和为s*o.
书上证明:
考虑把柯西乘积级数去掉括号的级数:u1v1+u1v2+u2v1+...+u1vn+...
如果上述级数绝对 收敛且其和为w,则由收敛级数的去加括号的基本性质以及比较审敛法可知,柯西乘积级数也绝对收敛且其和为w.
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这段话,我想不通,由u1v1+u1v2+u2v1+...+u1vn+...绝对收敛 的确 能推导出柯西乘积级数绝对收敛,但怎么导出柯西乘积级数的和为w呢?
求解!!!!
同济六版下册,P267

Answer 1

1.
级数:u1v1+u1v2+u2v1+...+u1vn+...收敛且其和为w
->柯西乘积u1v1+(u1v2+u2v1)+...+(u1vn+u2vn-1+...unv1)+... 收敛,且其和为w
2.
级数u1v1+u1v2+u2v1+...+u1vn+...绝对收敛,即
|u1v1|+|u1v2|+|u2v1|+...+|u1vn|+...收敛;
->|u1v1|+(|u1v2|+|u2v1|)+...+(|u1vn|+|u2vn-1|+...|unv1|)+... 收敛;
又|u1v1|+(|u1v2|+|u2v1|)+...+(|u1vn|+|u2vn-1|+...|unv1|)+... 各项>=|u1v1|+|u1v2+u2v1|+...+|u1vn+u2vn-1+...unv1|+...各项
于是级数|u1v1|+|u1v2+u2v1|+...+|u1vn+u2vn-1+...unv1|+...收敛
即柯西乘积u1v1+(u1v2+u2v1)+...+(u1vn+u2vn-1+...unv1)+... 绝对收敛.

综上所述:柯西乘积级数也绝对收敛且其和为w.

Answer 2

柯西乘积就是Σun*Σnv的展开式啊