Question

请高手帮忙做2道高数题，跪求过程，谢谢了！

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Answer 1

1、∵∫(lnt/t)dt=∫lntdlnt=(lnt)²-∫(lnt/t)dt
移项得∫(lnt/t)dt=(lnt)²/2
所以要证的式子就化成(lnx)²/2-(lne)²/2-(lnx+1)²/2+(lne+1)²/2>0
即(lnx)²/2-(lnx+1)²/2>(lne)²/2-(lne+1)²/2
令f(x)=(lnx)²/2-(lnx+1)²/2
f'(x)=lnx/x-ln(x+1)/(x+1)
下面考察g(x)=lnx/x
g'(x)=(1-lnx)/x
所以在x>e时g(x)递减，则f'(x)<0在x>e时成立。
所以f(x)在x>e时递减。f(x)<f(e)成立。
这个题比较麻烦，有问题再问我。
2、令h(x)=f(x)/g(x)(g(x)≠0)
所以h(a)=h(b)=0
根据罗尔定理得存在ξ∈（a,b）使h'(ξ)=0
即（f'(ξ)g(ξ)-g'(ξ)f(ξ)）/g(ξ)²=0
所以f'(ξ)g(ξ)-g'(ξ)f(ξ)=0