Question

若Y=根号（1-X)+根号（x-0.5) 的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为___________

Answer 1

y = √(1-x)+√(x-0.5)
1-x≥0，x-0.5≥0
定义域0.5≤x≤1
y' = -1/[2√(1-x)] + 1/[2√(x-0.5)] = [ √(1-x) - √(x-0.5) ] / { 2 √ [(1-x)(x-0.5)] }
当x∈(0.5，0.75)时，√(1-x) - √(x-0.5)＞0，y‘＞0，y单调增；
当x∈(0.75，1)时，√(1-x) - √(x-0.5)＜0，y‘＜0，y单调减。
x=0.75时有最大值：ymax = y = √(1-0.75)+√(0.75-0.5) = 1
x=0.5时，f(0.5) = √(1-0.5)+√(0.5-0.5) = √0.5 = √2/2
x=1时，f(1) = √(1-1)+√(1-0.5) = √0.5 = √2/2
∴最小值√2/2
a=1，b=√2/2
a^2+b^2 = 1+1/2 = 3/2

Answer 2

设根号（1-X)=u，根号（x-0.5)=v，则 1-x=u^2 x-0.5=v^2
所以u^2+v^2=1/2，它表示一个圆心为原点，半径为√2/2的圆。y=u+v为目标函数
平移直线v=-u，可以得到平移到与圆相切位置时，即点(-√2/2,-√2/2)得到最小值，
在点(√2/2，√2/2)处求得最大值。
所以最大值为a=√2，最小值为b=-√2
所以a^2+b^2=4

Answer 3

奉天