Question

advanced mathmatics~~~高等数学】Green's theorem~~格林公式之证明-2

我的问题，请见第2张、第三张图！也就是说，为啥么，这两处相等？问题有点多，但是在不好意思！因为实在不懂~~谢谢您！





Answer 1

图2：
把图想象成一条电流，ab和ec不是两条单线，而是距离非常非常窄的两个细线，电流沿着ab进去，然后转一圈再沿ba出来，再ce进入圈内，再ec出来。整个的那一长串积分和，就是电子在不同距离的出入量的流量和。x和y给出的是二维的坐标系的方向。
图3：
一看线性代数没学好，这个跟绝对值符号似的东西不是行列式嘛。做一下乘法你就得出图一的公式了。

追问

②：已经想通！

①：您用电量、电子来做阐释,特别简单易懂，特别通俗，特别感谢！
但问题是：①处，为什么相等？我还是不解！
您能否，详细一说？

追答

P,Q是作为坐标系x，y两轴方向的特定函数系；
前面是一长串就是我上面举得例子的电量和，从ab流入，转一圈，再从ba流出，以此类推。要记得你所求的是个二维矢量场的性质，它之所以会加来加去，加的很细，你仔细观察公式会发现，它其实是在围绕那个圈的箭头加了一整圈，然后又加回来。其实像ab，ba这种大小相同，方向相反的两个矢量，在相加的过程中已经互相抵消了。不知道这样说你是否清楚？

追问

谢谢您的详细解释！用电量这个概念，去打通对数学最基本概念的理解~~~
嗯~~这确实，是一条非常通俗、亲切的路径，是一条非常好的路径。
我以后，也要运用这个方法去理解数学概念

追答

实际上这个所求的不是一个简简单单面积的公式，它实际是一种对散度，或者说矢量场的求解，在现实生活中，从简单的注水，通电，气象图，到最后听上去很高大上的引力场，都离不开这种对矢量场的分析。他其实是对矢量场的散度求解，二维角度看的是面积，三位角度看的是体积空间，多维角度看的是多维空间。我上学的时候刚开始接触这个公式也是死记硬背，没能真正理解其中的意思，后来随着你对具体事物的认知加深，尤其以物理学为代表，你就逐渐理解其中的真实含义。数学可以考虑成人们在对现实生活中的各种物理自然现象进行量化描述的一种语言，像这种应用类数学，要想真正理解，就要找到一种该公式相对应最具代表性的现象类的理论入手。

Answer 2

1、一般教材的证明过程应该是说得很明白。证明格林公式的思路是把区域D分为三种类型讨论。类型一，D是单连通区域，且既是X型又是Y型区域，这时候把公式两边的二重积分和曲线积分都化成定积分，验证相等。类型二，D是单连通区域，但不是X型一的形式。这时候添加平行于坐标轴的直线，区域分块，按照类型一的结论得证。接下来就是图中所示的第三种类型了，添加辅助线后，D分块后变成类型一或类型二，套用先前结论即可。
2、还是格林公式，只是借助于行列式，让公式便于记忆而已。后面的斯托克斯公式也有类似的形式。

追问

luobinhan罗宾汉，您好您好！

对，
这就是第三类型：双连通！
是不是，
这些公式什么的，
我记记住，就OKAY拉？
没必要去深刻理解？

追答

理解是有必要的，添加辅助线（面）这一做法是使用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式时常常需要用到的。证明过程不必掌握，只要能够熟练应用公式解题即可，特别是在不满足公式条件，需要添加辅助线或辅助面的时候。

追问

wo本来的想法呢，是想把这个证明，想通透，彻底理解掉。
因为这样做，我也有私心的，
因为在漫漫的理解过程中，一方面，对公式不仅仅是记忆，
而是领会其“意图”，
而且这样一搞，烙印在我的脑子中，至死不忘（我这个人的记忆力真有点差）。
但今天，你这么一说，我觉得，可能是记记住，还比较实惠一些

追答

掌握这个证明并不困难，就是我前面说的那三点，自己动手画画图，化简下积分，重点是第一种情形，还顺便复习下二重积分与对坐标的曲线积分的基本计算方法，至于后面两类，就是分块积分后相加，辅助线两个方向上的积分相互抵消。
我觉得了解下证明的思路，对于后续做题还是有用的，至于证明过程，不过是按照思路的书写罢了。如果感觉做题时有思路但常常出错，那么把书上的定理结论作为练习题做做还是可行的。