Question

一道函数数学题，急

已知y=log0.5(x^2-ax+a)在区间（负无穷，根号2）上是增函数，求实数a的取值范围

怎么算也算不对，求详细过程，谢谢

Answer 1

这是个复合函数的问题 同增异减 这4个字要明白
这个函数可以看成 t（x）=x^2-ax+a y=log0.5(t)复合而成
已知y=log0.5(x^2-ax+a)在区间（负无穷，根号2）上是增函数
我们知道对于底数大于0小于1的对数函数为减函数
由此可由 同增异减 这个性质得知t(x)=x^2-ax+a在（负无穷，根号2）必为减函数
由以前我们所学习的二次函数的知识可以知道（负无穷，根号2）这个区间一定在
对称轴的左侧，可以得出x=-(-a/2)=a/2》根号2 此时可以求得a》2倍根号2
————注意————我们还要满足真数位置要大于零 这个容易忽略
即t(x)=x^2-ax+a>0 可以由上述知识得知此时函数为减函数 故t(根号2）>0------这个地方要理解
可以求得a>2倍根号2+1
最后总结可得 a>2倍根号2+1

看上去非常复杂其实以数学语言写出来并不复杂
希望可以明白

Answer 2

外层函数为减函数，所以求x^2-ax+a的减区间即可。(减减复合就算增了)
x^2-ax+a开口向上且关于x=a/2对称
它在（负无穷，a/2）上是减函数
所以让a/2>=根号2
得：a>=2*根号2
因为要x^2-ax+a>0
所以△=a^2-4a<0 (得：0<a<4)
综合，有2*根号2<=a<4

Answer 3

y=log<0.5> (x^2-ax+a)
=log<2>(x^2-ax+a)/log<2>0.5
= -log<2>(x^2-ax+a)
x^2-ax+a=(x-a/2)^2+a-a^2/4
x^2-ax+a>0 a-a^2/4>0, (0<a<4), x<a/2增函数 a/2<√2 a<2√2
a-a^2/4<0 a<0 x<a/2 增函数 a/2<√2 a<2√2
a/2+√(a^2/4-a)<√2 , a<2√2
a<2√2即可