Question

已知抛物线y=ax^2+bx+3(a不等于0)经过A(3,0)B(4,1)两点，且与Y轴交予点C

已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
谢谢！

Answer 1

(1)将A（3，0），B（4，1）两点坐标代入抛物线方程解得a=1/2 b=-5/2
抛物线方程为y=1/2x^2-5/2x+3
点C为其与y轴交点，横坐标为0，代入得c(0，3)
(2)kAB=(1-0)/(4-3)=1 要使△PAB是以AB为直角边的直角三角形
则AB垂直于PA 所以kPA=-1
直线PA方程为y=-x+3
再联立抛物线方程，解得x=0或x=3(舍)
所以x=0代入抛物线，知P点即c点
P（0，3)
（3）由（1）知直线AB、AC相互垂直，即角EAF=90度
所以该圆必是以EF为直径的圆
要使△OEF的面积取得最小值，综合题意则需EF最短
又圆过O、A 所以当圆以OA为直径时使△OEF的面积取得最小值
圆心（3/2，0） 半径r=3/2
圆方程为(x-3/2)^2+y^2=(3/2)^2
将圆方程与直线PA方程y=-x+3联立解得
x=3/2 或x=3（舍）
将x=3/2代入直线PA方程解=得y=3/2
E(3/2，3/2）
（不谢哈，以后大家相互帮助，共同进步！）

追问

谢谢

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

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