Question

已知在等差数列{a}中，a2=5,前10项和s10=120，若从数列{an}中依次取出第2项，第四项，第八项……

，第2的n次方项按原顺序组成新数列{bn}，且这个数列前n项和为Tn，试比较Tn+1与2Tn的大小
解题过程中这步骤是为什么？第2^n项即为bn=2^(n+1)+1，于是Tn=2^(n+2)+n-4。

Answer 1

解析：
已知等差数列{an}中，a2=5,前10项和s10=120
因为a1+a10=a2+a9，且S10=5(a1+a10)
所以：5(a2+a9)=120
解得a9=19
又a9=a2+7d，所以：公差d=2，a1=3
则等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)×d=3+(n-1)×2=2n+1
若从数列{an}中依次取出第2项，第四项，第八项……，第2的n次方项按原顺序组成新数列{bn}
则：b1=a2=4+1=5，b2=a4=8+1=9，b3=a8=16+1=17，...，
bn=a(2^n)=2*(2^n)-1=2^(n+1) +1 (bn由前述通项公式推得)
所以：新数列{bn}的前n项和：
Tn=(4+1)+(8+1)+(16+1)+...+[2^(n+1) +1]
=[4+8+16+...+2^(n+1) ] +n
=4×(1-2^n)/(1-2) +n
=4×2^n -4+n
=2^(n+2) +n-4