Question

已知函数y=f(x)定义在实数集上，且对任意x，y属于R均有f(x+y)=f(x)+(y)，又对任意的x>0，都有f(x)<0，f...

已知函数y=f(x)定义在实数集上，且对任意x，y属于R均有f(x+y)=f(x)+(y)，又对任意的x>0，都有f(x)<0，f(3)=-3 判断函数y=f(x)的奇偶性 证明函数y=f(x)在R上为单调减函数

Answer 1

已知条件可知f(-x-y)=f(-x)+(-y)= -f(x)-(y)=-[f(x)+(y)]= -f(x+y)故：函数为奇函数
设x1＞x2
f(x1+y)-f(x2+y)=f(x1)+(y)-f(x2)-(y)=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2))<0
所以：函数y=f(x)在R上为单调减函数

Answer 2

f(x+y)=f(x)+f(y)令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0
令y=-x 则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(x)=-f(-x)为奇函数
设x1 x2为任意两个实数令x1-x2>0 f(x1-x2)<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)

Answer 3

f〔x+(-x)]=f(X）+f（一X），f（o+3）=f（3）十f（0），f（0）=0，得证f（一X）=-f（X），又f（X+1）=f（X）十f（1），f（1）<O，则f（X）>f（X+1），则单调递减

Answer 4

y=-x