Question

z=ln√(x^2+y^2),求 z在点(1,1)处沿曲线x^2+y^2=2外法向的方向导数

z=ln√(x^2+y^2),求 z在点(1,1)处沿曲线x^2+y^2=2外法向的方向导数

Answer 1

先求切线的方向向量，曲线方程写为：f(x,y)=y²-x=0fx=-1，fy=2y，则切线方向向量为：(-1,2y)，将(1,1)代入得：(-1,2)，单位化(-1/√5,2/√5)，即cosα=-1/√5,cosβ=2/√5。

对y求偏导：эz/эy=2y/(1+x^2+y^2)，则dz=2x/(1+x^2+y^2)dx+2y/(1+x^2+y^2)dy，将x=1,y=2带入，得到dz=1/3dx+2/3dy，э为偏导符号。

扩展资料：

注意事项：

1、对于多变量函数，自变量有多个，表示自变量的点在一个区域内变动，不仅可以移动距离，而且可以按任意的方向来移动同一段距离。因此函数的变化不仅与移动的距离有关，而且与移动的方向有关。因此函数的变化率是与方向有关的。这也才有了方向导数的定义，即某一点在某一趋近方向上的导数值。

2、对于单变量函数，自变量只有一个，当x趋近于x0时只能在直线上变动，移动的方向只有左右两方。

3、当L与n同向时，便取得最大值|n|，我们称n为u在该点的梯度。可以看到梯度即是某一点最大的方向导数，沿梯度方向函数有最大的变化率（正向增加，逆向减少）。

参考资料来源：百度百科-方向导数

参考资料来源：百度百科-外法向量