已知a，b，c均为正实数，a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2>=1/3
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因为
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
且
2ab<=a^2+b^2
2ac<=a^2+c^2
2bc<=b^2+c^2
所以：a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac<=3(a^2+b^2+c^2)
所以：3(a^2+b^2+c^2)>=1
所以：a^2+b^2+c^2>=1/3
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
且
2ab<=a^2+b^2
2ac<=a^2+c^2
2bc<=b^2+c^2
所以：a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac<=3(a^2+b^2+c^2)
所以：3(a^2+b^2+c^2)>=1
所以：a^2+b^2+c^2>=1/3
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a，b，c均为正实数，
a+b+c=1
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ca
又：a^2+b^2≥2ab，b^2+c^2≥2bc，c^2+a^2≥2ca
∴a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
∴1-2ab-2bc-2ca≥ab+bc+ca
∴ab+bc+ca≤1/3
a+b+c=1
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ca
又：a^2+b^2≥2ab，b^2+c^2≥2bc，c^2+a^2≥2ca
∴a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
∴1-2ab-2bc-2ca≥ab+bc+ca
∴ab+bc+ca≤1/3
参考资料： ∴ a^2+b^2+c^2≥1/3
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柯西不等式:（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2
（a^2+b^2+c^2）（1^2+1^2+1^2）≥ （1a+1b+1c）^2
3（a^2+b^2+c^2）≥1得a^2+b^2+c^2≥1/3
当且仅当(a/1)=(b/1)=(b/1),即a=b=c1/3
（a^2+b^2+c^2）（1^2+1^2+1^2）≥ （1a+1b+1c）^2
3（a^2+b^2+c^2）≥1得a^2+b^2+c^2≥1/3
当且仅当(a/1)=(b/1)=(b/1),即a=b=c1/3
参考资料： http://baike.baidu.com/view/7618.htm
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