Question

已知a,b都是正数，求证：1/a+1/b大于等于4/a+b.

Answer 1

(1/根号a-1/根号b)^2>=0,
即1/a+1/b-2/根号ab>=0,所以1/a+1/b>=2/根号ab
同理，可得a+b>=2根号ab
所以4/（a+b）<=4/2根号ab=2/根号ab
所以1/a+1/b大于等于4/a+b.

Answer 2

(1/根号a-1/根号b)^2>=0,
即1/a+1/b-2/根号ab>=0,所以1/a+1/b>=2/根号ab
同理，可得a+b>=2根号ab
所以4/(a+b)<=4/2根号ab=2/根号ab
所以1/a+1/b大于等于4/a+b.

Answer 3

1/a+1/b-4/(a+b)
=[b(a+b)+a(a+b)-4ab]/[ab(a+b)]
=(ab+b²+a²+ab-4ab)/[ab(a+b)]
=(a²-2ab+b²)/[ab(a+b)]
=(a-b)²/[ab(a+b)]
(a-b)²≥0
a>0，b>0 ∴ab(a+b)>0
原式≥0，即1/a+1/b≥4/(a+b)