Question

设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2 +6ax+8(a属于R)在x=3处取得极值 1、求常数a的值 2、求f(x)在R上的单调增区间 3、

设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2 +6ax+8(a属于R)在x=3处取得极值
1、求常数a的值
2、求f(x)在R上的单调增区间
3、求f(x)在[-1,2]上的最大、最小值

Answer 1

f '(x)=6x^2-6(a+1)x+6a ，因为 f(x) 在 x=3 处取得极值，所以 f '(3)=0 。
1）由 f '(3)=54-18(a+1)+6a=0，解得 a=3 。
2）由1）得 f '(x)=6x^2-24x+18=6(x-1)(x-3) ，
因此，若令 f '(x)>0，得 x<1 或 x>3 ，
所以，函数的单调递增区间是：（-∞，1）和（3，+∞）。（注：中间不能是并符合 U ）
3）由1）得 f(x)=2x^3-12x^2+18x+8，
所以 f(-1)=-24，f(1)=16，f(2)=12 ，
因此，函数f(x)在 [-1，2]上最小值为 f(-1)=-24，最大值为 f(1)=16 。