Question

线性代数为什么方程个数小于未知数个数有非零解

Answer 1

根据线性方程组有解判别定理，齐次线性方程组中系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，所以齐次线性方程组一定有解（至少有一个零解）。

若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数的个数，即系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组有无穷多解（即有非零解）。

如果m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

扩展资料：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数）。

若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

Answer 2

首先应该是齐次的线性方程组。

方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。

我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。

未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。

类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

以上内容参考：百度百科-线性代数

Answer 3

首先应该是齐次的线性方程组哦
方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数,
我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数
未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解
类似于X+Y=0 一个方程两个未知数X Y自然有非零解

Answer 4

首先应该是齐次的线性方程组哦
方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数,
我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数
未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解
类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解

Answer 5

齐次方程组有非零解，就是向量组线性相关。有效方程的个数，就是向量组的秩r，即极大无关组中向量个数。未知数n的个数就是向量组中向量的总数。n>r,n中其它向量必然与极大无关组线性相关，所以必有非零解。。。这么想真的很透彻。